近日，清华大学物理系徐勇、段文晖研究组开发了一全新的普适框架，利用三维欧几里得群（E(3)群）下协变的神经网络预测微观原子结构对应的密度泛函理论（DFT）哈密顿量，可极大地加速第一性原理电子结构计算。研究成果以“General framework for E(3)-equivariant neural network representation of density functional theory Hamiltonian”为题发表于5月19日的《自然·通讯》(Nature Communications) 杂志上。

图1：基于协变神经网络的电子结构预测方法DeepH-E3的示意图。

       深度学习和第一性原理计算的结合已展现出广泛的发展前景，将为科学研究和实际应用带来巨大的帮助。在应用深度学习方法解决物理问题时，引入先验的物理知识和对称性的要求可以显著提高神经网络的表现。在这一背景下，徐勇、段文晖研究组发展出DeepH-E3方法，提出了一种E(3)协变神经网络处理材料体系DFT哈密顿量的对称性，能适当处理电子自旋和轨道自由度，对于强自旋轨道耦合的材料体系也有出色的表现（图1）。DeepH-E3模型用小体系DFT数据作训练，能快速预测大尺度材料体系的电子结构，将计算速度提高几个量级的同时，也能保持亚毫电子伏的预测精度。

图2：电子结构计算中的协变性。对于自旋轨道耦合（SOC）被忽略或被包含的两种情况，a 材料结构和波函数示意图，b哈密顿量示意图。结构a1和a2之间由90度的旋转联系起来（a），而这两个结构的p_x轨道间的跃迁强度（哈密顿量矩阵元）则由一个酉矩阵联系起来（b）。任何电子结构计算必须满足这一协变性的要求。当SOC不可忽略时，自旋和轨道空间的自由度互相耦合且在旋转操作下一起变换，如结构b1和b2。

       在先前工作中，徐勇、段文晖研究组发展了一种名为DeepH（Deep DFT Hamiltonian）的深度学习第一性原理计算方法（进展报道：https://mp.weixin.qq.com/s/51Sip9RvT3nDI4G4CrttDw）。在这一方法框架下，给定材料结构，可以利用深度神经网络预测其DFT哈密顿量。基于这个物理量，能够高效地预测单电子图像下的所有物理性质，避免了传统第一性原理方法高昂的时间消耗。然而，在E(3)对称性操作下（如空间旋转），DFT哈密顿量是协变的（图2），而考虑电子自旋空间自由度时，该协变性会变得更加复杂。先前的DeepH方法采用选取坐标规范和基组变换来处理DFT哈密顿量的协变性，但是这一做法存在规范不连续的问题。在最新提出的DeepH-E3方法中，研究人员发展了一种E(3)协变神经网络，能够使得神经网络直接满足对称协变要求，从而显著提高了预测的准确性和训练的效率。基于DeepH-E3理论框架，徐勇、段文晖研究组近期还开发了xDeepH（extended DeepH）方法（进展报道：https://mp.weixin.qq.com/s/kdtikJIwVtdQS2oIfGXjBQ）。

图3：DeepH-E3方法应用于转角双层石墨烯。a DeepH-E3方法的工作流程。神经网络在非转角、有随机扰动的小体系上训练后，可以推广到任意转角的大体系，而不再需要再进行DFT计算。b DeepH-E3方法与原本的DeepH方法在研究不同转角的双层石墨烯时的表现的对比。对于不同的转角体系，摩尔超晶格内的原子数也不同，图中显示了神经网络在这些结构上预测的哈密顿量相对DFT结果的平均绝对误差（MAE）。c 超晶格内有11,164个原子的魔角石墨烯的能带，分别由DeepH-E3，DFT以及连续模型计算得到。

       通过对多种二维摩尔转角材料的研究，该工作证明了DeepH-E3方法的高效性、准确性和普适性。对于包含11,164个原子的魔角双层石墨烯，DeepH-E3方法仅需数十分钟即可在个人电脑上预测得到其哈密顿量，相较于需要昂贵计算代价的DFT计算结果，能带误差仅在毫电子伏量级（图3）。对于具有强自旋轨道耦合（SOC）的Bi₂Se₃以及Bi₂Te₃双层转角结构，DeepH-E3方法展现了极高的精度，并准确预测了SOC强度改变时转角双层Bi₂Te₃从拓扑平庸到拓扑非平庸的拓扑相变，充分展示了DeepH-E3框架在处理SOC时的准确性。这项研究的结果为深度学习与第一性原理计算的结合提供了新的工具和方法，展示了基于协变神经网络的DeepH-E3方法在处理复杂材料体系的电子结构预测方面的优势，为加快材料设计和发现过程提供了一种高效而精确的工具。

       清华大学物理系徐勇教授和段文晖教授为该论文的通讯作者，北京大学本科生贡晓荀和研究组博士研究生李贺为共同第一作者。合作者还包括研究组博士研究生邹念龙和博士后研究员徐润章。该工作得到了国家自然科学基金委基础科学研究中心（52388201）、国家杰出青年科学基金（12025405）、国家科技部（2018YFA0307100、2018YFA0305603）等项目单位的支持。

       文章链接：https://www.nature.com/articles/s41467-023-38468-8

       DeepH-E3开源程序：https://github.com/Xiaoxun-Gong/DeepH-E3/